Question

双曲线

x2

4

-y²=1与直线y=kx+1有唯一公共点，求k值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立双曲线

x2

4

-y²=1与直线y=kx+1，化为（1-4k²）x²-8kx-8=0．分类讨论：当1-4k²=0时，可得k=±

1

2

，此时直线l与双曲线的渐近线平行，满足题意；当1-4k²≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=0，解出即可．

解答： 解：联立双曲线

x2

4

-y²=1与直线y=kx+1，化为（1-4k²）x²-8kx-8=0．
①当1-4k²=0时，可得k=±

1

2

，此时直线l的方程为y=±

1

2

x+1，分别与等轴双曲线的渐近线平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当1-4k²≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=64k²+32（1-4k²）=0，解得k=±

2

2

．此时满足条件．
综上可得：k=±

1

2

，或k=±

2

2

．

点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与△的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题．