Question

设a＞3，n≥3，用数学归纳法证明：（1+a）ⁿ＞1+na+

n(n-1)

2

a²．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先验证当n=3时成立，然后假设当n=k时成立来证明当n=k+1时成立．

解答： 证明：②n=3时，左边=（1+a）³，右边=1+3a+3a²，左-右=（1+a）³-（1+3a+3a²）=a³＞0，∴不等式成立；
②设当n=k时成立，即：（1+a）^k＞1+ka+

k(k-1)

2

a²．
当n=k+1时，（1+a）^k+1＞（1+a）（1+ka+

k(k-1)

2

a²）＞1+（k+1）a+

(k+1)k

2

a²，
∴n=k+1时，不等式成立．
由①②可知，（1+a）ⁿ＞1+na+

n(n-1)

2

a²．

点评：本题主要考查数列求出和数学归纳法．数学归纳法是一种证明题常用的方法，尤其是证明比较复杂的式子成立时，能够显现其优越性．