Question

如图，在半径为40cm、圆心角为60°的扇形铝皮OPQ上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在OP上，点C在

PQ

上，点D在OQ上．
（1）设∠COP=θ，将边AB，BC表示成θ的关系式；
（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

考点：弧度制的应用

专题：应用题,三角函数的图像与性质

分析：（1）先把矩形的各个边长用角θ表示出来，进而表示出矩形的面积即可将边AB，BC表示成θ的关系式；
（2）再利用角θ的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．

解答： 解：在RT△OBC中，OB=OC•cosθ=40cosθ，BC=OC•sinθ=40sinθ
在RT△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

（2分）
∴OA=

3

3

DA=

3

3

BC=40

3

3

sinθ，
∴AB=OB-OA=40cosθ-40

3

3

sinθ，（4分）
矩形ABCD的面积S=AB•BC=（40cosθ-40

3

3

sinθ）40sinθ=1600sinθcosθ-1600

3

3

sin2θ=800sin2θ-1600

3

6

（1-cos2θ）=800sin2θ+1600

3

6

cos2θ-1600

3

6

=1600

1

3

（

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ）-1600

3

6

=1600

1

3

sin（2θ+

π

6

）-1600

3

6

（8分）
（2）由0＜θ＜

π

3

，得

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

，（10分）
所以当2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

时，（12分）
S最大=

1

3

-

3

6

=

3

6

，
所以，当θ=

π

6

时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为

3

6

．（14分）

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．