Question

13．设关于x的方程x⁴-2x²=|x²-1|-k有f（k）个不同的实数根，且?k∈R，都有m＞kf（k）恒成立，则实数m的取值范围是[10，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得x⁴-2x²-|x²-1|=-k，设g（x）=x⁴-2x²-|x²-1|，易得g（x）为偶函数，去绝对值画出图象，讨论-k的范围，即可得到根的个数，可得kf（k）＜10．由恒成立思想即可得到m的范围．

解答 解：关于x的方程x⁴-2x²=|x²-1|-k即为
x⁴-2x²-|x²-1|=-k，
设g（x）=x⁴-2x²-|x²-1|，易得g（x）为偶函数，
当x²-1≥0即x≥1或x≤-1时，g（x）=x⁴-3x²+1
=（x²-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，当x²=$\frac{3}{2}$时取得最小值-$\frac{5}{4}$；
当x²-1＜0即-1＜x＜1时，g（x）=x⁴-x²-1
=（x²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，当x²=$\frac{1}{2}$时取得最小值-$\frac{5}{4}$．
函数y=g（x）的图象如图．
当-k＞-1，即k＜1时，f（k）=2；
当-k=-1，即k=1时，f（k）=5；
当-$\frac{5}{4}$＜-k＜-1，即1＜k＜$\frac{5}{4}$时，f（k）=8；
当-k=-$\frac{5}{4}$，即k=$\frac{5}{4}$时，f（k）=4；
当-k＜-$\frac{5}{4}$，即k＞$\frac{5}{4}$时，f（k）=0．
则kf（k）=$\left\{\begin{array}{l}{2k，k＜1}\\{5，k=1，\frac{5}{4}}\\{8k，1＜k＜\frac{5}{4}}\\{0，k＞\frac{5}{4}}\end{array}\right.$；
即有kf（k）＜10．
由题意?k∈R，都有m＞kf（k）恒成立，
即有m≥10．
则有m的范围是[10，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，考查函数方程的转化思想，考查数形结合的思想方法，属于中档题．