Question

9．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点F₁（-$\sqrt{5}$，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F
（1）求椭圆E的方程；
（2）过坐标原点O的直线交椭圆W：$\frac{{9{x^2}}}{{2{a^2}}}+\frac{{4{y^2}}}{b^2}$=1于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

Answer 1

分析 （I）用a，b，c表示出△OF₁F的边长，利用勾股定理列方程解出a，b，即可；
（II）设P（m，n），用m，n表示出直线AC的方程，求出B点坐标，计算PA，PB的斜率即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）连接DF₂，FO（O为原点，F₂为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为${F_2}（\sqrt{5}，0）$，
因为FO是△DF₁F₂的中位线，且DF₁⊥FO，所以|DF₂|=2|FO|=2b，
所以|DF₁|=2a-|DF₂|=2a-2b，故$|{F{F_1}}|=\frac{1}{2}|{D{F_1}}|=a-b$，
在Rt△FOF₁中，${|{FO}|^2}+{|{F{F_1}}|^2}={|{{F_1}O}|^2}$，
即b²+（a-b）²=c²=5，又b²+5=a²，解得a²=9，b²=4，
所以椭圆E的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆W的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），
∴${k_{PA}}=\frac{n}{m}$，${k_{AC}}=\frac{n}{2m}$，直线$AC：y=\frac{n}{2m}（x-m）$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{n}{2m}（x-m）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化简得$（1+\frac{n^2}{{2{m^2}}}）{x^2}-\frac{n^2}{m}x+\frac{n^2}{2}-2=0$，
∴${x_A}+{x_B}=\frac{{2m{n^2}}}{{2{m^2}+{n^2}}}$
因为x_A=-m，所以${x_B}=\frac{{2{m^3}+3m{n^2}}}{{2{m^2}+{n^2}}}$，则${y_B}=\frac{n}{2m}{x_B}-\frac{n}{2}=\frac{n^3}{{2{m^2}+{n^2}}}$
所以${k_{PB}}=\frac{{\frac{n^3}{{2{m^2}+{n^2}}}-n}}{{\frac{{2{m^3}+3m{n^2}}}{{2{m^2}+{n^2}}}-m}}=-\frac{m}{n}$，
则k_PA•k_PB=-1，即PA⊥PB．

点评 本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．