Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC．
（1）求证：AB⊥平面SAC；
（2）设SA=AB=AC=1，求点A到平面SBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）作出辅助线，求出BC，SD的长，从而求出点到面的距离．

解答： 证明：（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，
∵AB⊥AC，∴AB⊥平面SAC；
（2）如图，

做AD⊥BC，交点为D，连接SD，做AE⊥SD，交点为E，
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，
∵AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD，∴BC⊥AE，
∵AE⊥SD，∴AE⊥平面SBC，
∴AE的长度是A到平面SBC的距离，
由勾股定理得BC=

2

，
（面积相等）AD×BC=AB×AC=1，
∴AD=

2

2

，
勾股定理得SD=

6

2

，
（面积相等）SA×AD=AE×SD，
即

2

2

=AE×

6

2

，
∴AE=

3

3

，
∴A到平面SBC的距离为

3

3

．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理，考查了距离的计算，是一道中档题．