Question

设x=m和x=n是函数f（x）=lnx+

1

2

x²-（a+2）x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．
（1）若a＞0，求 f（m）+f（n）的取值范围；
（2）若n≥

e

，求f（n）-f（m）的最大值（注e是自然对数的底数）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数f（x）的定义域，令f′（x）=0，得出方程有两个不等的正根，由根与系数的关系求出f（m）+f（n）的取值范围；
（2）写出f（n）-f（m）的解析式并化简，根据解析式的特征构造函数g（t），求出g（t）的最值，即得f（n）-f（m）的最值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

+x-（a+2）=

x2-(a+2)x+1

x

；
依题意，方程x²-（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n），
∴m+n=a+2，mn=1；
∴f（m）+f（n）=ln（mn）+

1

2

（m²+n²）-（a+2）（m+n）
=

1

2

[（m+n）²-2mn]-（a+2）（m+n）
=-

1

2

（a+2）²-1＜-3；
∴f（m）+f（n）的取值范围是（-∞，-3）；
（2）∵f（n）-f（m）=ln

n

m

+

1

2

（n²-m²）-（a+2）（n-m）
=ln

n

m

+

1

2

（n²-m²）-（n+m）（n-m）
=ln

n

m

-

1

2

（n²-m²）
=ln

n

m

-

1

2

（

n2-m2

mn

）
=ln

n

m

-

1

2

（

n

m

-

m

n

）
=lnt-

1

2

（t-

1

t

）；
设t=

n

m

=n²（其中t＞e），
构造函数g（t）=lnt-

1

2

（t-

1

t

）（其中t≥e），
则g′（t）=

1

t

-

1

2

（1+

1

t2

）=-

(t-1)2

2t2

＜0；
∴g（t）在[e，+∞）上单调递减，
∴g（t）≤g（e）=1-

e

2

+

1

2e

；
即f（n）-f（m）的最大值是1-

e

2

+

1

2e

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数最值的问题，解题时应灵活应用导数的性质，根与系数的关系以及构造函数思想，是综合题．