Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱A₁D₁，C₁D₁的中点，N为线段B₁C的中点，若点P，M分别为线段D₁B，EF上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）

• A、1
• B、

  3 2

  4

• C、

  2 6 + 2

  4

• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：连接B₁D₁交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B₁D₁DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D₁G为D₁B₁的四分之一．其次，连接BD，设其中点为H，连接PH，BC₁，则△D₁DB≌△D₁C₁B，从而PN=PH．（实现了转化，这步是解题之关键），最后，连接GH交BD₁于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH，即可得出结论．

解答： 解：首先PM的最小值就是P到EF的距离．
连接B₁D₁交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B₁D₁DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D₁G为D₁B₁的四分之一．其次，连接BD，设其中点为H，连接PH，BC₁，则△D₁DB≌△D₁C₁B，从而PN=PH．（实现了转化，这步是解题之关键）
最后，连接GH交BD₁于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH．
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
∴GH=

1+( 2 4 )2

=

3 2

4

．
故选：B．

点评：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生分析解决问题的能力，有难度．