Question

函数f（a）=（3m-1）a+b-2m，当m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1恒成立，则

b2-a2

ab

的最大值是（　　）

• A、

  15

  4

• B、4
• C、

  19

  4

• D、5

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：先根据恒成立写出有关a，b的约束条件，再在aob系中画出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4．又

b2-a2

ab

=

b

a

-

a

b

，令

b

a

=t，则1≤t≤4，利用y=t-

1

t

在[1，4]上单调递增，即可得出结论．

解答： 解：令g（m）=（3a-2）m+b-a．
由题意当m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1可得

0≤g(0)≤1 0≤g(1)≤1

，
∴0≤b-a≤1，0≤2a+b-2≤1．  
即 a≤b≤1+a ①，2≤2a+b≤3  ②．
把（a，b）看作点画出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4．
又

b2-a2

ab

=

b

a

-

a

b

，令

b

a

=t，则1≤t≤4，
∵y=t-

1

t

在[1，4]上单调递增，
∴t=4时，即a=

1

3

，b=

4

3

时，y有最大值是

15

4

．
故选：A．

点评：本题主要考查了恒成立问题、用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．