题目内容
4．某企业根据市场需求，决定生产一款大型设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需投入成本C（x）万元，若年产量不足80台时，C（x）=$\frac{1}{2}$x2+40x万元，若年产量等于或超过80台时，C（x）=101x+$\frac{8100}{x}$-2180万元，每台设备售价为100万元，通过市场分析该企业生产的这种设备能全部售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系；
（2）年产量为多少台时，该企业的设备的生产中所获利润最大？
分析 （1）0＜x＜80，有y=100x-（$\frac{1}{2}$x2+40x）-500；x≥80，y=100x-（101x+$\frac{8100}{x}$-2180）-500，即可得出．
（2）由（1）可得：0＜x＜80时，有y=-$\frac{1}{2}（x-60）^{2}$+1300，利用二次函数的单调性可得y的最大值．x≥80时，y=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$，利用基本不等式的性质即可得出最大值．综上比较即可得出．
解答 解：（1）0＜x＜80，有y=100x-（$\frac{1}{2}$x2+40x）-500=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+60x-500；
x≥80，y=100x-（101x+$\frac{8100}{x}$-2180）-500=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$．
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+60x-500，0＜x＜80}\\{1680-（x+\frac{8100}{x}），x≥80}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可得：0＜x＜80时，有y=-$\frac{1}{2}（x-60）^{2}$+1300，
∴x=60时，y取得最大值1300（万元）．
x≥80时，y=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$≤1680-2$\sqrt{x×\frac{8100}{x}}$=1500，
当且仅当x=90时取等号．即当x=90时，y取得最大值1500（万元）．
综上可得：年产量为90台时，该企业的设备的生产中所获利润最大为1500（万元）．
点评 本题考查了二次函数的单调性、基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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