Question

14．定义在（-1，1）上的函数f（x）满足下列条件：
①对任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+x+y}$）；
②当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：
（1）f（x）是奇函数；
（2）f（x）是单调递减函数；
（3）f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{1}{19}$）+…+f（$\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}$）＞f（$\frac{1}{3}$），其中n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）求出f（0）=0，利用函数的奇偶性的定义证明即可．
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
（3）化简通项公式，利用裂项法求和，然后分析$f（-\frac{1}{n+3}）＞0$，即可证明结论．

解答 证明：（1）令x=y=0代入$f（x）+f（y）=f（\frac{x+y}{1+xy}）$，得到f（0）=0．
令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）．
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{x_1}）+f（-{x_2}）=f（\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}）$
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴|x₁x₂|=|x₁||x₂|＜1，-1＜x₁x₂＜1．
又x₁-x₂＜0，∴$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}＜0$且$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}+1=\frac{{（1+{x_1}）（1+{x_2}）}}{{1-{x_1}{x_2}}}＞0$，
∴$-1＜\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}＜0$，∴$f（\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}）＞0$，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是单调递减函数．
（3）$f（\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}）=f[\frac{（n+3）-（n+2）}{（n+2）（n+3）-1}]=f[\frac{{\frac{1}{n+2}+（-\frac{1}{n+3}）}}{{1+\frac{1}{n+2}（-\frac{1}{n+3}）}}]$=$f（\frac{1}{n+2}）+f（-\frac{1}{n+3}）=f（\frac{1}{n+2}）-f（\frac{1}{n+3}）$
∴$f（\frac{1}{11}）+f（\frac{1}{19}）+…+f（\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}）$=$[f（\frac{1}{3}）-f（\frac{1}{4}）]+[f（\frac{1}{4}）-f（\frac{1}{5}）]+…+[f（\frac{1}{n+2}）-f（\frac{1}{n+3}）]$=$f（\frac{1}{3}）-f（\frac{1}{n+3}）=f（\frac{1}{3}）+f（-\frac{1}{n+3}）$
∵$0＜\frac{1}{n+3}＜1$，∴$f（-\frac{1}{n+3}）＞0$，∴$f（\frac{1}{3}）+f（-\frac{1}{n+3}）＞f（\frac{1}{3}）$．
故$f（\frac{1}{11}）+f（\frac{1}{19}）+…+f（\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}）＞f（\frac{1}{3}）$．

点评 本题考查抽象函数的应用，数列求和，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．