Question

9．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足4S_n=a_n+1²-4n-4，n∈N*，且a₂，a₄，a₈构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由4S_n=a_n+1²-4n-4，n∈N*，n≥2时，4S_n-1=${a}_{n}^{2}$-4（n-1）-4，可得：${a}_{n+1}^{2}$=$（{a}_{n}+2）^{2}$，由a_n＞0，可得a_n+1=a_n+2，利用等差数列的通项公式可得a_n=a₁+2（n-1）．由a₂，a₄，a₈构成等比数列，可得${a}_{4}^{2}$=a₂a₈，代入可得a₁．
（2）b_n=a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$=2n+$\frac{1}{{4}^{n}}$，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵4S_n=a_n+1²-4n-4，n∈N*，
n≥2时，4S_n-1=${a}_{n}^{2}$-4（n-1）-4，可得：4a_n=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$-4，化为：${a}_{n+1}^{2}$=$（{a}_{n}+2）^{2}$，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，∴数列{a_n}是等差数列，公差为2．
∴a_n=a₁+2（n-1）．
∵a₂，a₄，a₈构成等比数列，∴${a}_{4}^{2}$=a₂a₈，
即$（{a}_{1}+6）^{2}$=（a₁+2）（a₁+14），解得a₁=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$=2n+$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$2×\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=n²+n+$\frac{1}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．