Question

若函数f（x）=|x³-3x-t|（x∈[-2，2]）的最大值为

5

2

，则实数t=

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：令m=x³-3x（-2≤x≤2），可得-2≤m≤2，再研究函数g（m）=|m-t|（-2≤m≤2）即可．

解答： 解：令m（x）=x³-3x（-2≤x≤2），则m′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当-2≤x＜-1时，m′（x）＞0，m（x）递增；当-1＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）递减；当1＜m（x）≤2时，m′（x）＞0，m（x）递增．
又m（-1）=m（2）=2，m（-2）=m（1）=-2，
∴-2≤m（x）≤2，
再研究函数g（m）=|m-t|（-2≤m≤2）．
当t＞0时，g（m）_max=g(-2)=

5

2

，得|-2-t|=

5

2

，得t=

1

2

，
当t＜0时，g（m）_max=g(2)=

5

2

，得|2-t|=

5

2

，得t=-

1

2

，
故答案为：±

1

2

．

点评：该题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．