Question

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圆C：（x-1）²+（y-2）²=25
（1）求直线l经过的定点坐标；
（2）求证：直线l与圆C总相交（提示：只需证明直线l经过圆内的一点）；
（3）求出相交弦长的最小值及对应的m值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,证明题,直线与圆

分析：（1）将直线化简为（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，然后令2x+y-7=0，x+y-4=0，解方程组即可得到定点坐标；
（2）由（1）得，直线l过定点A（3，1），求出AC的距离，与圆的半径半径，说明A在圆内，即可得证；
（3）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求m的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．

解答： （1）解：由直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0
对于任意实数m，要使上式成立，必须

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得：

x=3 y=1

所以直线l过定点A（3，1）；
（2）证明：由（1）得，直线l过定点A（3，1），
圆C：（x-1）²+（y-2）²=25圆心为C（1，2），半径为5．
|AC|=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

＜5，即有A在圆内，
则有直线l与圆C总相交；
（3）解：直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，
∵圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，圆心（1，2），半径为5
∴CA的斜率为

2-1

1-3

=-

1

2

，
∴l的斜率为2，
∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的斜率为-

2m+1

m+1

，
∴-

2m+1

m+1

=2，
∴m=-

3

4

，
∵|CA|=

4+1

=

5

，
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2

25-5

=4

5

．
则相交弦长的最小值是4

5

，对应的m=-

3

4

．

点评：本题考查直线恒过定点，考查直线和圆的位置关系及弦长的计算，解题的关键是掌握圆的特殊性，属于中档题．