Question

已知函数f（x）=x-

a

x

-lnx（a＞0）．讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数f（x）的单调性．

解答： 解：∵f′（x）=

x2-x+a

x2

，（x＞0），
令g（x）=x²-x+a，
①当a≥

1

4

时，g（x）≥0，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）递增；
②0＜a＜

1

4

时，令g（x）＞0，解得：x＞

1+ 1-4a

2

或x＜

1- 1-4a

2

，
∴令g（x）＜0，解得：

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

，
∴f（x）在（0，

1- 1-4a

2

）递增，在（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）递减，在（

1+ 1-4a

2

，+∞）递增．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道中档题．