Question

10．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x，（x≥0）\\-{x^2}+2x，（x＜0）\end{array}\right.$，若f（a）+f（a²-2）＜0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• B． （-1，2）
• C． （-2，1）
• D． （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，结合函数奇偶性和单调性的定义先判断函数的单调性和奇偶性，然后将不等式进行转化求解即可得到结论．

解答 解：若x＜0，则-x＞0，此时f（-x）=x²-2x=-（-x²+2x）=-f（x），
若x＞0，则-x＜0，此时f（-x）=-x²-2x=-（x²+2x）=-f（x），
∵f（0）=0，∴恒有f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，y=x²+2x=（x+1）²-1递增，
当x＜0时，y=2x-x²=-（x-1）²+1递增，且f（0）=0，
则f（x）在定义域R上是增函数，
则f（a）+f（a²-2）＜0等价为f（a²-2）＜-f（a）=f（-a），
即：a²-2＜-a，即a²+a-2＜0，
解得：-2＜a＜1
∴实数a的取值范围是（-2，1），
故选：C．

点评 本题主要考查函数不等式的求解，利用分段函数的性质判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键．一般来讲，抽象函数不等式，多数用单调性定义或数形结合法求解．