Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n的最大值；
（3）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前10项和T₁₀．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推式：n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简计算即可得到所求通项公式；
（2）配方，由二次函数的最值求法，即可得到所求最大值；
（3）求出b_n=|a_n|=|11-2n|，讨论当1≤n≤5时，b_n=11-2n；n≥6时，b_n=2n-11．计算即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
可得n=1时，a₁=S₁=10-1=9；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-10（n-1）+（n-1）²=11-2n，
上式对n=1也成立．
则a_n=11-2n，n∈N^*；
（2）S_n=10n-n²=-（n-5）²+25，
当n=5时，S_n的最大值为25；
（3）b_n=|a_n|=|11-2n|，
当1≤n≤5时，b_n=11-2n；
n≥6时，b_n=2n-11．
则数列{b_n}的前10项和T₁₀=9+7+5+3+1+1+3+5+7+9
=2×$\frac{1}{2}$（9+1）×5=50．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的前n项和的最值以及等差数列的求和公式的运用，属于中档题．