Question

2．某学校记者团由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：

组别	理科		文科
性别	男生	女生	男生	女生
人数	3	3	3	1

学校准备从中选4人到社区举行的大型公益活动中进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生，给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．
（Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率；
（Ⅱ）设文科组男生被选出的人数为X，求随机变量的分布列X和数学期望E（x）．

Answer 1

分析 （I）使用组合数公式求出所有可能的选法和符合条件的选法，从而计算出概率；
（II）利用组合数公式求出各种情况的概率，得出分布列，再计算数学期望．

解答 解：（Ⅰ）要求被选出的4人中理科组、文科组学生都有，共有${{C}_{6}^{1}C}_{4}^{3}$+${{C}_{6}^{2}C}_{4}^{2}$+${{C}_{6}^{1}C}_{4}^{3}$=194种选法，
其中“理科组恰好记4分“的选法有两种情况：
①从理科组选2男1女，文科组任选1人，有${{{C}_{3}^{2}C}_{3}^{1}C}_{4}^{1}$=36种选法，
②从理科组中选2女，再从文科组任选2人，有${{C}_{3}^{2}C}_{4}^{2}$=18种选法，
∴理科组恰好记4分的概率P=$\frac{36+18}{194}$=$\frac{27}{97}$．   
（Ⅱ）由题意可得X=0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{{C}_{1}^{1}C}_{6}^{3}}{194}$=$\frac{10}{97}$，P（X=1）=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{7}^{3}}{194}$=$\frac{105}{194}$，P（X=2）=$\frac{{{C}_{3}^{2}C}_{7}^{2}}{194}$=$\frac{63}{194}$，P（X=3）=$\frac{{{C}_{3}^{3}C}_{6}^{1}}{194}$=$\frac{3}{97}$．
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{10}{97}$	$\frac{105}{194}$	$\frac{63}{194}$	$\frac{3}{97}$

∴E（X）=0×$\frac{10}{97}$+1×$\frac{105}{194}$+2×$\frac{63}{194}$+3×$\frac{3}{97}$=$\frac{249}{194}$．

点评 本题考查了组合数公式的应用，离散型随机变量的分布列，属于中档题．