Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为{S_n}，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）． 
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，求数列{b_n}的通项公式；
（III）令c_n=$\frac{{{{（{-1}）}^n}{a_n}{b_n}}}{4}$，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推式：n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简计算即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）n=1时，求得b₁=8，再将n换为n-1，相减可得b_n=2（3ⁿ+1），检验即可得到所求通项；
（III）求得c_n=$\frac{（-1）^{n}•2n•2（{3}^{n}+1）}{4}$=（-1）ⁿ•（n•3ⁿ+n），运用数列的求和方法：分组求和及错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
可得n=1时，a₁=S₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-n（n-1）=2n，
上式对n=1也成立．
则a_n=2n，n∈N^*；
（Ⅱ）数列{b_n}满足：a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，
可得n=1时，a₁=$\frac{{b}_{1}}{4}$，即有b₁=8，
n≥2时，a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{3+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，
相减可得a_n-a_n-1=$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$=2，
即有b_n=2（3ⁿ+1），
上式对n=1也成立．
则b_n=2（3ⁿ+1），n∈N^*；
（III）c_n=$\frac{{{{（{-1}）}^n}{a_n}{b_n}}}{4}$=$\frac{（-1）^{n}•2n•2（{3}^{n}+1）}{4}$=（-1）ⁿ•（n•3ⁿ+n），
数列{c_n}的前2n项和T_2n=-[1•3+3•3³+…+（2n-1）•3^2n-1]
+[2•3²+4•3⁴+…+2n•3²ⁿ]+（-1+2-3+4-…-2n+1+2n），
令S_n=1•3+3•3³+…+（2n-1）•3^2n-1，
9S_n=1•3³+3•3⁵+…+（2n-1）•3²ⁿ⁺¹，
相减可得-8S_n=3+2（3³+3⁵+…+3^2n-1）-（2n-1）•3²ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{27（1-{9}^{n-1}）}{1-9}$-（2n-1）•3²ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=$\frac{15}{32}$+$\frac{8n-5}{32}$•3²ⁿ⁺¹，
令M_n=2•3²+4•3⁴+…+2n•3²ⁿ，
9M_n=2•3⁴+4•3⁶+…+2n•3²ⁿ⁺²，
相减可得-8M_n=18+2（3⁴+3⁶+…+3²ⁿ）-2n•3²ⁿ⁺²
=18+2•$\frac{81（1-{9}^{n-1}）}{1-9}$-2n•3²ⁿ⁺²，
化简可得M_n=$\frac{9}{32}$+$\frac{8n-1}{32}$•3²ⁿ⁺²，
则T_2n=-S_n+M_n+n
=-$\frac{3}{16}$+$\frac{3+24n}{16}$•3²ⁿ+n．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和，注意运用分组求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．