Question

（1）已知矩阵M=

1 2 2 x

的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
（2）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
①求证：DE是⊙O的切线；②若

AC

AB

=

3

5

，求

AF

DF

的值．
（3）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=t y=1+2t

（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

Answer 1

考点：矩阵特征值的定义

专题：矩阵和变换

分析：本题（1）先根据特征多项式，利用已知的特征值，求出参数x的值，再求出另一个特征值，以及对应的一个特征向量；（2）

解答： 解：（1）∵矩阵M=

1 2 2 x

，
∴矩阵M的一个特征多项式为：f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4．
∵矩阵M的一个特征值为3，
∴f（3）=0，
即（3-1）（3-x）-4=0，
∴x=1．
∴f（λ）=（λ-1）（λ-1）-4=（λ-3）（λ+1），
令f（λ）=0，
λ=3或λ=-1，
当λ=-1时，
-2x-2y=0，
取x=1，则y=-1，
∴另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为

1 -1

．

点评：本题考查了矩阵的特征值、特征向量，本题难度不大，属于基础题．