Question

已知抛物线x²=2y，过点P（0，1）的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，则y₁+y₂的最小值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：先根据点P设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂=2k，然后，求解得到y₁+y₂=2k²+2，
从而确定其最小值．

解答： 解：设过点P（0，1）的直线方程为：
y=kx+1，
联立方程组

y=kx+1 x2=2y

，
整理，得
x²-2kx-1=0，
∴△=4k²+4＞0，
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-1，
∵y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2
=2k²+2，
∴当k=0时，y₁+y₂的最小值2．
故答案为：2．

点评：本题重点考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质等知识，属于中档题．