Question

11．定义在R上的函数f（x），其周期为4，且当x∈[-1，3]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}}&{x∈[-1，1]}\\{1-|x-2|}&{x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
（1）画出函数在x∈[-1，3]的简图
（2）若函数g（x）=f（x）-kx-k恰有4个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的解析式，可得函数在x∈[-1，3]的简图
（2）若函数g（x）=f（x）-kx-k恰有4个零点，即函数f（x）与y=kx+k的图象有四个交点，数形结合可得答案．

解答 解：（1）∵当x∈[-1，3]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}}&{x∈[-1，1]}\\{1-|x-2|}&{x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
∴函数在x∈[-1，3]的简图如下图：

（2）若函数g（x）=f（x）-kx-k恰有4个零点，
即函数f（x）与y=kx+k的图象有四个交点，
由y=kx+k的图象恒过（-1，0）点，
当y=kx+k的图象过（2，1）点时，k=$\frac{1}{3}$，
当y=kx+k的图象与半圆y=$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$相切时，k=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
故当k∈（$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{1}{3}$）时，即函数f（x）与y=kx+k的图象有四个交点，
即函数g（x）=f（x）-kx-k恰有4个零点．

点评 本题考查的知识点是函数的图象，分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，难度中档．