Question

16．已知椭圆$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．
（1）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；
（2）设F₁，F₂为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-\frac{5}{4}$，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由由$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$①，$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$②；①-②得：$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}×\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\frac{y}{x}=-\frac{1}{4}$，即$x+2\sqrt{3}y=0$，由M在椭圆内部，则$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$，即可求得动点M的轨迹方程；
（2）由向量数量积的坐标运算，求得P点坐标，求得直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，根据基本不等式的性质，即可求得△PAB面积的最大值．

解答 解：（1）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$①，$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$②；
①-②得：$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}×\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\frac{y}{x}=-\frac{1}{4}$，即$x+2\sqrt{3}y=0$．…（4分）
又由中点在椭圆内部得$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$，
∴M点的轨迹方程为$x+2\sqrt{3}y=0$，$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$；…（5分）
（2）由椭圆的方程可知：F₁（-$\sqrt{3}$，0）F₂（$\sqrt{3}$，0），P（x，y）（x＞0，y＞0），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²-3+y²=-$\frac{5}{4}$，即x²+y²=$\frac{7}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{7}{4}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，则P点坐标为$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，…（6分）
设直线l的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：${x^2}+\sqrt{3}mx+{m^2}-1=0$，由△＞0得-2＜m＜2，
则${x_1}+{x_2}=-\sqrt{3}m$，${x_1}{x_2}={m^2}-1$，…（8分）
$|{AB}|=\sqrt{\frac{7}{4}}\sqrt{4-{m^2}}$，$d=\frac{|m|}{{\sqrt{\frac{7}{4}}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|m|\sqrt{4-{m^2}}$．…（9分）
${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|m|\sqrt{4-{m^2}}≤\frac{1}{2}\frac{{{m^2}+4-{m^2}}}{2}=1$，
当且仅当m²=4-m²，即$m=±\sqrt{2}$时，取等号，
∴△PAB面积的最大值1．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算三角形的面积公式与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．