Question

讨论函数f（x）=

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2

cos（2x-2a）+cos²a-2cos（x-a）•cosx•cosa的周期、最值、奇偶性及单调区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数的及诶小时为f（x）=-

1

2

cos2x，由此求得函数的周期、最大值、最小值、奇偶性，再利用函数的单调性和y=cos2x的单调性相反，求得此函数的单调区间．

解答： 解：函数f（x）=

1

2

cos（2x-2a）+cos²a-2cos（x-a）•cosx•cosa
=

1

2

[2cos²（x-a）-1]+

1+cos2a

2

-2cos（x-a）•

1

2

[cos（x-a）+cos（x+a）]
=cos²（x-a）+

1

2

cos2a-cos²（x-a）-cos（x-a）•cos（x+a）
=

1

2

cos2a-

1

2

[cos2a+cos2x]=-

1

2

cos2x，
故函数的周期为

2π

2

=π，最大值为

1

2

，最小值为-

1

2

．
根据余弦函数的奇偶性可得此函数为偶函数．
由于函数的单调性和y=cos2x的单调性相反，
令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，可得函数减区间为[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得 kπ≤x≤kπ+

π

2

，可得函数增区间为[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性，体现了转化的数学思想，属于中档题．