Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1-an2

．
（1）证明：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）求数列{a_nb_n}的最大值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（1）利用数列的递推公式，根据等差数列定义，证明数列{

1

an

}是等差数列；（2）根据（1）的结论，将a_nb_n转化为n的函数，再用基本不等式求函数最值，得到本题结论．

解答： （1）证明：∵对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1-an2

，
∴

an+1

an

=

bn

1-an2

=

1-an

1-an2

=

1

1+an

，
∴

1+an

an

=

1

an+1

，
∴

1

an+1

-

1

an

=1．
∵a₁=b₁，a_n+b_n=1
∴a₁=b₁=

1

2

．
∴

1

a1

=2．
∴数列{

1

an

}是以2为首项，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知：

1

an

=2+（n-1）=n+1，
an=

1

n+1

，
b_n=1-a_n=

n

n+1

，
∴a_nb_n=

n

(n+1)2

=

1

n+ 1 n +2

≤

1

2+2

=

1

4

．
（当且仅当n=1时取等号）
∴数列{a_nb_n}的最大值为：

1

4

．

点评：本题考查了数列的递推公式的应用、基本不等式、函数的最值，本题难度不大，属于基础题．