Question

已知函数f（x）=ax²-4x+2，函数g（x）=（

1

3

）^f（x）
（1）若f（2-x）=f（2+x），求f（x）的解析式；
（2）若g（x）有最大值9，求a的值，并求出g（x）的值域；
（3）已知a≤1，若函数y=f（x）-log₂

x

8

在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求得f（x）的对称轴为x=2，从而解得a=1，故有所求f（x）=x²-4x+2．
（2）由已知可得：f（x）=ax²-4x+2有最小值-2，解得a=1，有f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2≥-2，故可得函数g（x）=（

1

3

）^f（x）的值域．
（3）设r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）则原命题等价于两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点，分情况讨论：当a=0时，有函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点，当a＜0时，有-1≤a＜0，当0＜a≤1时，有0＜a≤1，综上可得所求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），∴f（x）的对称轴为x=2，
即-

4

2a

=2，即a=1．
∴所求f（x）=x²-4x+2．
（2）由已知：g（x）=（

1

3

）^f（x）有最大值9，
又y=(

1

3

)t为减函数，∴f（x）=ax²-4x+2有最小值-2
∴

a＞0 4a×2-42 4a =-2

  解得a=1…（8分）f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2≥-2
∴函数g（x）=（

1

3

）^f（x）的值域为（0，9]
（3）∵y=f（x）-log₂

x

8

=ax²-4x+5-log₂x
设r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）
则原命题等价于两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点，
当a=0时，r（x）=-4x+5在区间[1，2]内为减函数，
s（x）=log₂x（x∈[1，2]）为增函数，且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=-3＜s（2）=1，
∴函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点，
当a＜0时，r（x）图象开口向下，对称轴为x=

2

a

＜0，
∴r（x）在区间[1，2]为减函数，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）为增函数，
则由

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

⇒

a+1≥0 4a-3≤1

⇒-1≤a≤1，∴-1≤a＜0
当0＜a≤1时，r（x）图象开口向上，对称轴为x=

2

a

≥2，
∴r（x）在区间[1，2]内为减函数，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）为增函数，
则由

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

⇒

a+1≥0 4a-3≤1

⇒-1≤a≤1，∴0＜a≤1
综上得，所求a的取值范围为[-1，1]．

点评：本题主要考察了函数解析式的求解及常用方法，函数的最值及其几何意义，函数的零点的解法，属于中档题．