Question

20．已知递增的等比数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别为下表中第一、二、三行中某一个数，且a₁，a₂，a₃中的任何两个数不在下表中同一行和同一列，

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{b_n}满足${b_n}={a_n}+{（-1）^n}ln{a_n}$，若n为偶数，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况，根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{a_n}的通项公式；
（2）首先要利用第（1）问的结果对数列数列{b_n}的通项进行化简，然后结合通项的特点，利用分组法进行数列{b_n}的前n项和的求解．

解答 解：（1）当a₁=3时，不符合题意；
当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时符合题意；
当a₁=10时，不符合题意；
所以a₁=2，a₂=6，a₃=18，
∴公比为q=3，
故：a_n=2•3^n-1，n∈N*．
（2）因为b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n
=2•3^n-1+（-1）ⁿln（2•3^n-1）
=2•3^n-1+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]
=2•3^n-1+（-1）ⁿ（ln2-ln3）+（-1）ⁿnln3，
所以所以s_n=2（1+3+…+3^n-1）+[-1+1-1+1+…+（-1）ⁿ]（ln2-ln3）+[-1+2-3+4-…+（-1）ⁿn]ln3，
所以当n为偶数时，S_n=2×$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{n}{2}$ln3=3ⁿ+$\frac{n}{2}$ln3-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，以及数列求和的方法，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个中档题．