Question

12．已知函数f（x）=x-alnx，$g（x）=-\frac{1+a}{x}$．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而进一步确定a的范围即可．

解答 解：（1）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
当a=1时，f（x）=x-lnx，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，…（3分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由表可知，f（x）在x=1处取到极小值为1，无极大值．…（7分）
（2）∵$h（x）=x-alnx+\frac{1+a}{x}$∴$h'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{1+a}{x^2}=\frac{{（x+1）[{x-（1+a）}]}}{x^2}$…（9分）
①当a+1＞0即a＞-1时，令h'（x）＜0得0＜x＜a+1
令h'（x）＞0得x＞a+1…（11分）
②当a+1≤0即a≤-1时，h'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，…（13分）
综上，当a＞-1时，h（x）的递减区间为（0，a+1），递增区间为（a+1，+∞）；
当a≤-1时，h（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间． …（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．