Question

9．已知直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于A、B两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当A，B两点分别在双曲线两支上，求k的范围？
（3）当A，B两点在双曲线同一支上，求k的范围？
（4）求当实数k为何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

Answer 1

分析 （1）直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=1联立，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0①，由△＞0，且3-k²≠0，求实数k的取值范围；
（2）A，B两点分别在双曲线两支上，$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＜0
（3）要A、B在双曲线同一支上，则方程①的两根同号；
（4）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依题意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+1=0，继而可解得k的值．检验成立．

解答 解：（1）直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=1联立，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0①，
由△＞0，且3-k²≠0，
得-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，且k≠±$\sqrt{3}$；
（2）A，B两点分别在双曲线两支上，$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＜0，
∴-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$时，A、B两点在双曲线的两支上．
（3）若要A、B在双曲线同一支上，则方程①的两根同号，
故$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＞0，
∴k＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$．
∴当-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{6}$时，A、B两点在双曲线的同一支上；
（4）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即2•$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+k•$\frac{-2k}{{k}^{2}-3}$+1+$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$=0，
∴$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+1=0，解得k=±1．
经检验，k=±1满足题目条件，
则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．

点评 本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．