Question

【题目】如图，在四棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，，点为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上是存在一点，，使直线与平面所成的角正弦值为.

【解析】

（Ⅰ）取中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面;（Ⅱ）取中点，连结，，推导出平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假设在线段上是存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，设．利用向量法能求出结果．

（Ⅰ）证明：取中点，连结、，

是边长为2的等边三角形，，，，点为的中点，

，四边形是平行四边形，，

平面，平面，

平面．

（Ⅱ）解：取中点，连结，，

在四棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，

，，，点为的中点，

平面，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，1，，，0，，，1，，，0，，

，，，，0，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

设二面角的平面角为，

则．

二面角的余弦值为．

（Ⅲ）解：假设在线段上是存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，设．

则，，，，，，平面的法向量，

，

解得，

线段上是存在一点，，使直线与平面所成的角正弦值为．