Question

【题目】已知函数在点处的切线与直线垂直.

（1）求函数的极值；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，函数无极小值；（2）

【解析】分析：（1）由函数在点处的切线与直线垂直，利用导数的几何意义求得，利用导数研究函数的单调性，从而可得函数的极值；（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，令，利用导数可得当时，在上是增函数，，故当时，，再证明当时不合题意即可.

详解：（1）函数的定义域为，，

所以函数在点处的切线的斜率.

∵该切线与直线垂直，所以，解得.

∴， ，

令，解得.

显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.

∴函数的极大值为，函数无极小值.

（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，

令，则，

令，则在上为增函数，即，

①当时，，即，则在上是增函数，

∴，故当时，在上恒成立.

②当时，令，得，

当时，，则在上单调递减，，

因此当时，在上不恒成立，

综上，实数的取值范围是.