题目内容
【题目】2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是
，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.
（1）求该学生进入省队的概率.
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为
，求
的分布列及
的数学期望.
【答案】（1）
；（2）分布列详见解析， 
.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合对立事件概率公式可得：该学生进入省队的概率为
；
(2)由题意可知
的可能取值为2,3,4,5，求解相应的概率值得到分布列，结合分布列计算可得
的数学期望为
.
试题解析：
（1）记“该生进入省队”的事件为事件
，其对立事件为
，则
.
∴
.
（2）该生参加竞赛次数
的可能取值为2,3,4,5.
， 
，
.
.
故
的分布列为：
.
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