题目内容
【题目】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.
市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了
人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过
元）：
消费金额（单位：百元） |
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频数 |
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由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额
（单位：元）近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
（每组数据取区间的中点值，
）.现从该市任取
名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在
元至
元之间的人数为
，求的数学期望；
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第
格、第
格、第
格、…、第
格共
个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是
，其中
），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从
到
），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到
）.重复多次，若这枚棋子最终停在第
格，则认为“闯关成功”，并赠送
元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第
格的概率为
，求证：当
时，
是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量
服从正态分布，则
，
，
.
【答案】
；
①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.
【解析】
根据数据算出
，由
服从正态分布
，算出概率，即
，进而算出
的数学期望；
①棋子开始在第
格为必然事件，
.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第
格，其概率为
，即
.棋子移到第
格的情况是下列两种，即棋子先到第
格，又掷出反面，其概率为
；棋子先到第
格，又掷出正面，其概率为
.所以
.即
，进而求证当
时，
是等比数列；②由①知
，
，
，
，
，得
，所以
，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
解：
，
因为服从正态分布，所以
.
所以，
所以的数学期望为
.
①棋子开始在第格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
所以，
即，且
，
所以当时，数列是首项，公比为
的等比数列.
②由①知，，，，，
以上各式相加，得，
所以.
所以闯关成功的概率为
，
闯关失败的概率为
.
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
