Question

18．在三棱锥P-ABC中，$PA=PB=PC=\sqrt{6}$，AC=AB=2，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 9π

Answer 1

分析 可得P在底面上的射影M是CB的中点，也是底面ABC外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答 解：由题意，点P在底面上的射影M是CB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O，
∵AC=AB=2，且AC⊥AB，∴MB=MC=MA=$\sqrt{2}$，
又∵$PA=PB=PC=\sqrt{6}$，∴PM=$\sqrt{6-2}$=2
如图在直角三角形OBM中，
OB²=OM²+BM²，即R²=2+（2-R）²
∴R=$\frac{3}{2}$
则该三棱锥外接球的表面积为4πR²=4$π×\frac{9}{4}$=9π．
故选：D

点评 本题考查了球的表面积，考查计算能力，空间想象能力，转化思想的应用，属于中档题．