Question

9．关于二项式（x-1）²⁰⁰⁵，有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；
②该二项展开式中第六项为$C_{2005}^6{x^{1999}}$；
③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；
④当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余数是2005．
其中所有正确命题的序号是（　　）

• A． ②④
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①④

Answer 1

分析 分别令x=1、x=0求出二项式（x-1）²⁰⁰⁵所有项的系数和与常数项，判定①正确；
根据二项式展开式的通项公式求出第六项，判定②错误；
根据二项展开式的特点可知系数绝对值最大的项，判定③错误；
当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余数是2006-l，判定④正确．

解答 解：在二项式（x-1）²⁰⁰⁵中，令x=1得二项式（x-1）²⁰⁰⁵所有项的系数和为0，
令x=0得常数项为-l，∴非常数项的系数和是1，①正确；
二项展开式的第六项为T₅₊₁=${C}_{2005}^{5}$•x²⁰⁰⁰•（-1）⁵=-C₂₀₀₅⁵x²⁰⁰⁰，∴②错误；
二项展开式中系数绝对值最大的为${C}_{2005}^{\frac{2005-1}{2}}$=C₂₀₀₅¹⁰⁰²，
和-${C}_{2005}^{\frac{2005+1}{2}}$=-C₂₀₀₅¹⁰⁰³，
得系数最大的项是第1003项C₂₀₀₅¹⁰⁰²•x¹⁰⁰³，∴③错误；
当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁵除以2 006的余数是2006-l=2005，∴④正确．
综上，以上正确命题的序号是①④．
故选：D．

点评 本题主要考查了二项式系数的性质，展开式的特定项以及系数最大项问题，是中档题．