Question

6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=$\sqrt{3}$，∠A=120°，BD=3．
（1）求AD的长；
（2）若∠BCD=105°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得能求出AD的长．
（2）由正弦定理得$\frac{BC}{sin45°}=\frac{DC}{sin30°}=\frac{3}{sin105°}$，从而BC=3$\sqrt{3}-3$，DC=$\frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}$，过A作AE⊥BD，交BD于E，过C作CF⊥BD，交BD于F，则AE=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CF=$\frac{1}{2}BC=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，四边形ABCD的面积：S=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}×BD×（AE+CF）$，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=$\sqrt{3}$，∠A=120°，BD=3．
∴由余弦定理得：cos120°=$\frac{3+A{D}^{2}-9}{2×\sqrt{3}×AD}$，
解得AD=$\sqrt{3}$（舍去AD=-2$\sqrt{3}$），
∴AD的长为$\sqrt{3}$．
（2）∵AD∥BC，AB=$\sqrt{3}$，∠A=120°，BD=3，AD=$\sqrt{3}$，
∠BCD=105°，
∴∠DBC=30°，∠BDC=45°，
∴$\frac{BC}{sin45°}=\frac{DC}{sin30°}=\frac{3}{sin105°}$，
解得BC=3$\sqrt{3}-3$，DC=$\frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}$，
如图，过A作AE⊥BD，交BD于E，过C作CF⊥BD，交BD于F，
则AE=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CF=$\frac{1}{2}BC=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，
∴四边形ABCD的面积：
S=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}×BD×（AE+CF）$
=$\frac{1}{2}×3×（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}-3}{2}）$
=$\frac{12\sqrt{3}-9}{4}$．

点评 本题考查三角形的边长的求法，考查四边形的面积的求法，考查余弦定理、正弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．