Question

设

a

，

b

，

c

是任意的平面向量，给出下列命题：
①（

a

•

b

）

c

=（

b

•

c

）

a

，
②若

a

•

b

=

a

•

c

，则

a

⊥（

b

-

c

），
③（

a

+

b

）（

a

-

b

）=|

a

|²-|

b

|²，
④（

a

•

b

）²=

a

²•

b

²，
其中正确的是

 

．（写出正确判断的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用数乘运算、数量积运算的概念进行判断；
②注意特殊向量零向量的影响；
③利用数量积运算、多项式乘法公式展开后，进行化简即可；
④由数量积的定义式推导．

解答： 解：
①（

a

•

b

）

c

是向量

c

的共线向量，而（

b

•

c

）

a

是

a

的共线向量，显然左右两边的向量方向未必相同，故①错；
②若

a

•

b

=

a

•

c

，则(

b

-

c

)•

a

=0，则

a

=

0

时上式成立，但不满足

0

⊥（

b

-

c

），故②错；
③（

a

+

b

）（

a

-

b

）=

a

2-

a

•

b

+

b

•

a

-

b

2=

a

2-

b

2=|

a

|2-|

b

|2，故③对；
④（

a

•

b

）²=(|

a

||

b

|cosθ)2=|

a

|2|

b

|2cos2θ=

a

2

b

2cos2θ，未必与 

a

²•

b

²相等．
故答案为③．

点评：本例考查了数量积的概念、运算性质等基础知识，在思考的过程中，要充分考虑特殊向量

0

对结果的影响．