Question

在△Rt△ABC中，|AB|=2，∠BAC=60°，∠B=90°，G是△ABC的重心，求

GB

•

GC

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，由题意可得|AC|=4，设

AB

=

a

，

AC

=

b

，则

a

•

b

=4，根据

GB

•

GC

=

2

3

（

a

-

1

2

b

）•

2

3

（

b

-

1

2

a

）=

4

9

（

a

•

b

-

a 2

2

-

b 2

2

+

a 2

4

），计算可得结果．

解答： 解：如图所示，由，|AB|=2，∠BAC=60°，∠B=90°，可得|AC|=4．
设E、F分别为AC、AB的中点，设

AB

=

a

，

AC

=

b

，则

a

•

b

=2×4×cos60°=4．
∵

GB

=

2

3

EB

=

2

3

（

a

-

1

2

b

），

GC

=

2

3

FC

=

2

3

（

b

-

1

2

a

），
∴

GB

•

GC

=

2

3

（

a

-

1

2

b

）•

2

3

（

b

-

1

2

a

）=

4

9

（

a

•

b

-

a 2

2

-

b 2

2

+

a 2

4

）=

4

9

（4-2-8+1）=-

20

9

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，熟练掌握向量的运算法则和重心定理及数量积运算、模的计算公式和三角函数的平方关系及其两角和差的余弦公式是解题的关键．