Question

设命题p：a³＜a，命题q：对任意x∈R，都有x²+4ax+1＞0，命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围是．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先求出命题p，q下的a的取值范围，然后根据p∧q为假，p∨q为真得，p真q假，或p假q真，求出每种情况下的a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：解a³＜a得a＜-1，或0＜a＜1；
对任意x∈R，都有x²+4ax+1＞0；
∴△=16a²-4＜0，解得-

1

2

＜a＜

1

2

；
∵命题p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假；
①若p真q假，则：a＜-1，或0＜a＜1，且a≤-

1

2

，或a≥

1

2

；
∴a≤-

1

2

，或

1

2

≤a＜1；
②若p假q真，则：-1≤a≤0，或a≥1，且-

1

2

≤a≤

1

2

；
∴-

1

2

≤a≤0；
综上得a≤0，或

1

2

≤a＜1；
∴实数a的取值范围是：（-∞，0]∪[

1

2

，1)．

点评：考查解一元三次不等式，一元二次不等式的解和判别式△的关系，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系．