Question

15．函数f（x）=$\sqrt{（x-4）^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最小值为5．

Answer 1

分析 运用两点的距离公式可得f（x）表示x轴上一点P与A（4，2）和B（0，-1）的距离之和．当且仅当A，P，B三点共线时，f（x）取得最小值，由两点的距离公式计算即可得到最小值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{（x-4）^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$
=$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-0）^{2}+（0+1）^{2}}$
表示x轴上一点P与A（4，2）和B（0，-1）的距离之和．
当且仅当A，P，B三点共线时，f（x）取得最小值，
且为|AB|=$\sqrt{（4-0）^{2}+（2+1）^{2}}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义，结合两点之间线段最短，考查运算能力，属于中档题．