Question

7．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，各棱长为1，O是底面ABCD对角线的交点．
（1）求棱锥B₁-A₁BC₁的体积；
（2）求证：D₁O∥面A₁BC₁．

Answer 1

分析 （1）转换底面求三棱锥B₁-A₁BC₁的体积．
（2）取A₁C₁的中点E，连接NE，BE，证明NEBM是平行四边形，可得MN∥BE，即可证明MN∥平面A₁BC₁；

解答 解：（1）解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，各棱长为1
三棱锥B₁-A₁BC₁的体积=三棱锥B-A₁B₁C₁的体积=$\frac{1}{3}×1×1×1$=$\frac{1}{3}$．
（2）证明：取A₁C₁的中点M，连接BM，则
∵M，O分别为B₁D₁，BD的中点，
∴BO平行且等于MD₁，
∴BOD₁M是平行四边形，
∴MB∥OD₁，
∵MB?平面A₁BC₁，MB?平面A₁BC₁，
∴OD₁∥平面A₁BC₁；

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查三棱锥B₁-A₁BC₁的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．