Question

6．已知偶函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，f（-1）=0，若f（log₂x）＜0，则x的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 根据题意，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式f（log₂x）＜0进行转化-1＜log₂x＜1，利用对数函数的性质解可得x的范围，即可得答案．

解答 解：∵偶函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
又∵f（x）为偶函数，则f（1）=f（-1）=0，
∴不等式f（log₂x）＞0等价为-1＜log₂x＜1，
解可得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，
即不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，2），
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，涉及对数函数的性质，利用函数的奇偶性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键．