Question

已知点P（x，y）是平面区域

y≤4 x-y≤0 x≥m(y-4)

内的动点，点A（1，-1），O为坐标原点，设|

OP

-

λOA

|（λ∈R）的最小值为M，若M≤

2

恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  3

  ，

  1

  5

  ]
• B、（-∞，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  5

  ，+∞）
• C、[-

  1

  3

  ，+∞）
• D、[-

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合,不等式的解法及应用

分析：分m＞0，m=0，m＜0三种情况作可行域，然后分析使|

OP

-

λOA

|取最小值时的P点在可行域内的位置，由M≤

2

得到m的取值范围．

解答： 解：直线x=m（y-4）恒过定点（0，4），
当m＞0时，由约束条件

y≤4 x-y≤0 x≥m(y-4)

作可行域如图，

|

OP

-

λOA

|的最小值为M=0，满足M≤

2

；
当m=0时，直线x=m（y-4）与y轴重合，平面区域

y≤4 x-y≤0 x≥m(y-4)

为图中y轴右侧的阴影区域，
|

OP

-

λOA

|的最小值为M=0，满足M≤

2

；
当m＜0时，由约束条件

y≤4 x-y≤0 x≥m(y-4)

作可行域如图阴影部分，

当P点与B重合时，|

OP

-

λOA

|（λ∈R）的最小值M=|

OB

|，
联立

y=x x=m(y-4)

，解得B（

4m

m-1

，

4m

m-1

）．
|

OB

|=

2

|

4m

m-1

|，
由

2

|

4m

m-1

|≤

2

，解得：-

1

3

≤m≤

1

5

．
∴-

1

3

≤m＜0．
综上，实数m的取值范围是[-

1

3

，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，关键是对题意的理解，是难题．