Question

已知θ是三角形的内角，且

1

2

≤cosθ+sinθ≤1，则cosθ-sinθ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：利用θ是三角形的内角，且

1

2

≤cosθ+sinθ≤1，确定cosθ-sinθ＜0，设a=cosθ+sinθ，b=cosθ-sinθ，则a²+b²=2
则b²=2-a²，即可求出cosθ-sinθ的取值范围．

解答： 解：∵θ是三角形的内角，且

1

2

≤cosθ+sinθ≤1，
∴-

3

4

≤2cosθsinθ≤0，
∴cosθ≤0，sinθ＞0，
∴cosθ-sinθ＜0，
设a=cosθ+sinθ，b=cosθ-sinθ，则a²+b²=2
∴b²=2-a²，
∵

1

2

≤a≤1，
∴1≤b²≤

7

4

，
∴-

7

2

≤b≤-1，
故答案为：[-

7

2

，-1]．

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计数能力，设a=cosθ+sinθ，b=cosθ-sinθ，则a²+b²=2是解题的关键．