Question

12．某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为$\frac{2}{3}$，做对每个物理题的概率为p（0＜p＜1），5个题目做完只错了一个的概率为$\frac{7}{27}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用5个题目做完只错了一个的概率为$\frac{7}{27}$．列出方程求解即可．
（2）求出随机变量ξ的情况，求出对应的概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 解：（1）由题意得$C_3^1{（\frac{2}{3}）^2}（\frac{1}{3}）{p^2}+{（\frac{2}{3}）^3}C_2^1p（1-p）=\frac{7}{27}$，解得$p=\frac{1}{2}$
（2）该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，ξ的值分别为：0，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12．分布列为：

ξ	0	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12
p	$\frac{1}{108}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{54}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{27}$

Eξ=$0×\frac{1}{100}$$+2×\frac{1}{18}$+3×$\frac{1}{53}$+4×$\frac{1}{9}$$+5×\frac{1}{9}$$+6×\frac{1}{12}$$+7×\frac{2}{9}$$+8×\frac{1}{18}$$+9×\frac{4}{27}$$+10×\frac{1}{9}$$+12×\frac{2}{27}$=7．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．