Question

4．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$，x∈[-1，2]．
（1）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求x值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）把f（x）化简去掉绝对值，由题意2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$=$\frac{3}{2}$计算即可．
（2）利用指数的复合函数性质求其单调性．
（3）利用单调性求值域．

解答 解：∵x∈[-1，2]
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}，（0＜x≤2）}\\{0，（-1≤x≤0）}\end{array}\right.$
（1）由题意：2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$=$\frac{3}{2}$（0＜x≤2）
解得：x=1．
（2）当0≥x≥-1时，f（x）=0，不存在单调性．
当0＜x≤2时，y₁=2^x是增函数，y₂=$\frac{1}{{2}^{x}}$是减函数，
所以f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，2]是增函数．
故：函数f（x）的单调增区间为（0，2]，x∈[-1，0]不存在单调性．
（3）由（2）可知，函数f（x）在x∈（0，2]是增函数，
故x=2时取得最大值，即$f（x）_{max}=\frac{15}{4}$．
当0≥x≥-1时，f（x）=0．
所以：f（x）的值域为[0，$\frac{15}{4}$]．

点评 本题考查指数函数的单调性的运用，分段函数的值域求法，考查运算能力，属于基础题．