Question

三棱锥A-BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD，且AB：AC=3：2．
（1）证明：AB⊥CD；
（2）证明：平面ACD⊥平面BCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由余弦定理易得BC=BD，取CD中点E，连结AE，BE，由等腰三角形三线合一，CD与BE，AE垂直，再用线面垂直的判定和性质定理即可证得
（2）计算BE，AE长度，再由勾股定理得BE与AE垂直，又BE和CD垂直，再由线面垂直、面面垂直的判定定理即可证得．

解答： 证明：（1）设AC=AD=2，AB=3，
∵∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，
∴BD=BC=

9+4-2×2×3×cos60°

=

7

，
取CD的中点E，连接BE，AE，
∵AC=AD，BC=BD，
∴AE⊥CD，BE⊥CD，
∴CD⊥平面ABE，又AB?平面ABE，
∴AB⊥CD．
（2）∵AC=AD，CE=ED，∠DAC=60
∴AE⊥CD，AC=AD=CD
∴CD=2，CE=ED=

CD

2

=1，AE²=AC²-CE²=4-1=3，
BC²=BD²=7，
∴BE⊥CD
∴BE²=BC²-CE²=7-1=6
∴AE²+BE²=3+6=9=AB²，
∴AE⊥EB
∴AE⊥面BCD
∴平面BCD⊥平面ADC．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空意思维能力的培养．