题目内容

已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1），在x轴上有一点M满足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
（λ∈R），求点C的轨迹方程．
考点：轨迹方程
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先设出C的坐标，则G点坐标可得，进而根据
GM
=λ
AB
判断出GM∥AB，根据表示出M的坐标，利用|
MA
|=|
MC
|，进而利用两点间的距离公式求得x和y的关系，点C的轨迹方程可得．
解答： 解：设C（x，y），则G（
x
3
，
y
3
）．
∵
GM
=λ
AB
（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x轴上一点，则M（
x
3
，0）．
又∵|
MA
|=|
MC
|，
∴
(
x
3
)2+1
=
(
x
3
-x)2+y2
．
整理得
x2
3
+y2=1（x≠0）．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，正确运用向量知识是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=sinx+cosα，则f′（α）的值为（　　）
A、sinα
B、cosα
C、sinα+cosα
D、cosα-sinα
函数y=2sin（
π
6
-2x），x∈[
π
6
，
π
2
]的最大值并求最大值时x的值．
三棱锥A-BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD，且AB：AC=3：2．
（1）证明：AB⊥CD；
（2）证明：平面ACD⊥平面BCD．
设f（x）=x2+x，用g（n）表示f（x）当x∈[n，n+1]（n∈N*）时的函数值中整数值的个数．
（1）求g（n）的表达式．
（2）设an=
2n3+3n2
g(n)
（n∈N*），求S2n=
2n
k=1
（-1）k-1ak．
（3）设bn=
g(n)
2n
，Tn=b1+b2+…+bn，若Tn＜l（l∈Z），求l的最小值．
设函数f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p＞1，e是自然对数的底数）
（1）若对任意x∈[2，e]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求p的取值范围；
（2）若对任意x1∈[2，e]，存在x2∈[2，e]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，求p的取值范围．
某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的
1
2
，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的
1
6
，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的
2
3
．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？
给定有限单调递增数列{xn}（n∈N*，n≥2）且xi≠0（1≤i≤n），定义集合A={（xi，xj）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{xn}具有性质P．
（Ⅰ）给出下列四个命题，其中正确的是
 
（填上所有正确有命题的序号）
①数列{xn}：-2，2具有性质P；
②数列{yn}：-2，-1，1，3具有性质P；
③若数列{xn}具有P，则{xn}中一定存在两项xi，xj，使得xi+xj=0；
④若数列{xn}具有性质P，x1=-1，x2＞0且xn＞1（n≥3），则x2=1．
（Ⅱ）若数列{xn}只有2014项且具有性质P，x1=-1，x3=2，则{xn}的所有项和S2014=
 
．
已知函数f（x）=
3
sin（ωx+
π
6
）（ω＞0）周期为4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）图象向右平移
1
3
个单位长度得到函数g（x）图象，P，Q分别为函数g（x）图象在y轴右侧第一个的最高点和最低点，求△OQP的面积．

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