Question

4．“m≤-$\frac{1}{2}$”是“?x＞0，使得$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$-$\frac{3}{2}$＞m是真命题”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 问题转化为m＜（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$-$\frac{3}{2}$）_min，令f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$-$\frac{3}{2}$，根据不等式的性质求出f（x）的最小值，求出m的范围，结合集合的包含关系判断即可．

解答 解：若?x＞0，使得$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$-$\frac{3}{2}$＞m是真命题，
则m＜（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$-$\frac{3}{2}$）_min，
令f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$-$\frac{3}{2}$，则f（x）≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{1}{2x}}$-$\frac{3}{2}$=1-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
故m＜-$\frac{1}{2}$，
故m≤-$\frac{1}{2}$”是“m＜-$\frac{1}{2}$“的必要不充分条件，
故选：B．

点评 本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．