Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（sinθ，1）$，$\overrightarrow b=（-sinθ，0）$，$\overrightarrow c=（cosθ，-1）$，且$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）∥\overrightarrow c$，则sin2θ等于$-\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 根据题意，由向量的坐标运算可得求出2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3sinθ，2），进而由向量平行的坐标表示方法可得有3sinθ×（-1）=2cosθ，化简可得，tanθ=-$\frac{2}{3}$，进而由二倍角公式变形分析可得sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$，代入tanθ的值计算即可得答案．

解答 解：根据题意，量$\overrightarrow a=（sinθ，1）$，$\overrightarrow b=（-sinθ，0）$，$\overrightarrow c=（cosθ，-1）$，
则2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3sinθ，2），
又由$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）∥\overrightarrow c$，则有3sinθ×（-1）=2cosθ，即-3sinθ=2cosθ，
化简可得，tanθ=-$\frac{2}{3}$，
sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$=-$\frac{12}{13}$，
即sin2θ=$-\frac{12}{13}$；
故答案为：$-\frac{12}{13}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，关键是利用向量平行的坐标表示方法求出关于三角函数式．